랜덤 process와 관련 된 용어

 

랜덤 프로세스의 성질, 특성을 나타내는 지표로 

correlation function이 있다.

 

같은 종류의 랜덤 프로세스의 correlation function을 auto correlation function이라 한다.

 

다른 종류의 랜덤 프로세스의 correlation function을 cross correlation function이라 한다.

 

 

만약 다음과 같은 조건을 만족한다면

 

 auto correlation function과 cross correlation function은 랜덤 변수 x(t1), x(t2), y(t2)간의 공분산, 공변량을 의미한다. 

 

     ※ x(t)가 랜덤변수, 랜덤 프로세스가 아니라  정해진 (deterministic )변수라면, autocorrelation 함수는 다음과 같다.

http://www.ktword.co.kr/test/view/view.php?m_temp1=3547

자기 상관

 

이 경우에는 확률 분포의 개념이 들어가지 않는다.

x(t)의 변수가 확률적인 특성을 가진 랜덤변수, 랜덤프로세스일 때의 autocorrelation 함수의 수학식과

x(t)의 변수가 확률적 특성없이 그냥 딱 정해져 있다면, 이 때의 autocorrelation 함수의 수학식은 다르다. 

 

위 사이트의 자료에서 자기상관함수에 대해 정리하고 있다.

  ㅇ 어떤 신호의 시간이동된 자기자신과의 `상관성(Correlation)` 척도

  ㅇ 주요 특징
     - 결정 신호이든(주기 신호,비주기 신호이든) 랜덤 신호이든, 모든 신호에 대해 적용 가능
     - 특히, 랜덤 과정인 경우에, 
        . 자기상관함수를 이용하여 굳이 시간신호에 대한 푸리에변환을 구할 필요 없이,
        . 주파수상에 분포된 전력(전력밀도스펙트럼)을 취급할 수 있으므로 이를 사용하게됨

자기 상관함수는 deterministic 신호, random 신호에 상관없이 적용가능한 함수이다. 

 

특히 x(t)가 random 신호, random process의 경우, x(t)의 전력밀도 스펙트럼을 알고 있는 상태라면, x(t)의  전력밀도 스펙트럼을 이용하여 자기상관함수의 특성을 구할 수 있다.

 

랜덤 프로세스의 성질, 특성을 나타내는 지표로 

Stationary, Ergodicity가 있다.

 

랜덤프로세스의 특성이 stationary하다는 것의 의미는 무엇인가? 

다음영상에서 정리하고 있다. 

 

https://www.youtube.com/watch?v=elV4B_-79oo&list=PLx7-Q20A1VYKRLHUMSt2YOORrVz8iH-Kq&index=3

 

 

 

x1(t), x2(t), x3(t) 로 이루어진 x 라는 랜덤프로세스가 있다. 

시각 t1 에서 랜덤프로세스의 값들을 모은 것이 랜덤변수 x(t1) 이고

시각 t2 에서 랜덤프로세스의 값들을 모은 것이 랜덤변수 x(t2) 이라고 하자.

 

랜덤변수 x(t1)과 x(t2)의 확률 밀도 함수가 같다면  x라는 랜덤프로세스를 stationary라고 한다. 

 

APPLIED OPTIMAL ESTIMATION / gelb 책에서

stationary randomprocess의 의미에 대해서 다음과 같이 정의한다. 

 

stationary random process is one whose statistical properties
are invariant in time. This implies that the first probability density function for
the process, f(x1,t1), is independent of the time of observation t1.

Then all the moments of this distribution, such as E[x(t1)] and E[x^2(t1)], are also
independent of time - they are constants.

 

 

 Ergodicity

 

erogodicity를 잘 설명해주었던 영상은 다음과 같다.

What is ergodicity? - Alex Adamou - YouTube

 

 

다음과 같이 X라는 random process가 있다. 

X라는 랜덤 프로세스를 5번 수행하고 그 결과는 다음과 같다.

 

위 그림에서 초록색으로 표시 된 것의 평균을 time average라고 한다. 4번째 수행한 결과를 시간에 대해서 평균한 것이다.

 

위 그림에서 빨간색으로 표시한 것의 평균을 ensemble average라고 한다. 시각을 고정했을 때 1,2,3,4,5번째 수행한 결과의 평균이다.

 

 

X라는 랜덤프로세스의 time average 값과 ensemble average 값이 같다면, 랜덤 프로세스 X는 ergodic 특성을 가지고 있다고 한다.  

 

 Gaussian Process

 

임의의 랜덤 프로세스 X가 Gaussian random process이면, X의 랜덤 변수 x(t)의 분포는(어떤 시각에서든지)  정규분포(normal distribution)가 된다. 

 

 

랜덤변수 x(t)가 여러개 모여서, 벡터가 된 x(t) 라는 가우시안 벡터의 분포는 다음과 같이 표현 된다. 

n차 가우시안 벡터의 분포는