실수 신호를 복소수(I+iQ)로 만든 다음 frequency domain에 표현하는 이유

cosωt라는 실수 정현파는 +주파수의 복소 정현파와 -주파수의 복소정현파를 이용하여 수학적으로 표현이 된다. 

 

따라서 cosωt를 DFT한 결과를 사용자에게 보여주면, 사용자는 +주파수와 -주파수가 둘 다 존재하는 상태를 보게 된다. 

 

하지만 우리가 사는 자연(?)세계에서 

 

정현파를 음의 주파수로 진동시킬수 없다. 양의 주파수로만 진동시킬 수 있다. (전파를 진동시키거나, 물을 진동시킨다던가..)

 

그러므로 우리는 cosωt의 주파수성분을 보려고 한다면,  +ω 주파수에 대한 정보만 보고 싶다. 

 

신호의 주파수 성분을 계산하는 방법으로 DFT가 있다. 

 

cosωt를 DFT에 넣으면 +주파수와 -주파수 성분을 내놓는다.

 

+ω 주파수만 보기 위해서 cosωt와 90도 위상차이가 있는 sinωt와 함께 복소수 신호(cosωt + jsinωt) 를 만들고 이를 DFT에 넣는다.  글 제목에 있는 I와 Q는 이 경우  I = cosωt, Q= sinωt 이 된다. 

 

 +ω  주파수에 대한 크기와 위상정보가  frequency domain에 표시된다. 

 

 

그 과정은 다음과 같다. 

 

 

디지털 신호 처리를 공부하면 신호의 I, Q라는 개념이 나온다.  신호의 I성분 신호와 Q 성분 신호는 위상이 90도 차이가 난다.

 

cosωt, sinωt를 오일러 공식으로 표현하고, DFT를 이용하여 frequency domain 에서 표현하면 다음과 같다.

 

 

sinωt의 오일러 공식을 보면 cosωt의 오일러 공식 표현에 허수 i가 곱해진 것이다.

그리고 sinωt 와 cosωt는 위상이 서로 90도 차이가 나는 관계이다. 따라서 frequency domain에서 동시에 표현할 때, 주파수 domain에 표현된 그림 1, 그림 2를 수직이 되도록 그리면 3차원 공간에 다음과 같이 표현된다.

 

글 제목인 실수 신호를 복소수(I+iQ)로 만든 다음 frequency domain에 표현하는 이유로 다시 돌아오자. 

 

sinωt에 허수j를 곱하면 sinωt의 frequency domain이 반시계방향으로 90도 회전한다.

이 상태는 cosωt+ jsinωt를 frequency domain으로 표현한 것이다.

 

 

실수 신호cosωt를 복소수(I+iQ)로 만든 다음 frequency domain에 표현하면

처음 목표한대로 cosωt의 주파수 성분 ω에 대해서만 신호의 크기, 위상이 표현된 것을 볼 수 있다.