본 글은 아날로그 디바이스사에서 작성한 AN-1067, The Power Spectral Density of Phase Noise and Jitter: Theory, Data Analysis, and Experimental Results 내용 일부를 정리한 것이다. Sampling clock에 존재하는 jitter는 ADC, DAC의 SNR(Signal to Noise Ratio) 성능에 직접적인 영향을 미친다.
위상 잡음과 jitter의 정의 설명
주파수 domain상에서 Phase noise와 Jitter를 연관 짓는 수학 관계 정리
주파수 domain 또는 power spectral density 상에서 phase noise와 jitter를 계산하는 방법 정리
2.Phase noise, Jitter의 정의
①Phase noise
Phase noise는 arbitrary 함수 Φ(t)로 다음과 같이 정의한다. 다음 그림에서 Φ(t)로 인해 위상이 떨린다. 위상 Φ(t)는 Carrier 주파수(ωt)와 연관 없다. Φ(t)는 thermal noise, shot noise, flicker noise에 의해 발생한다. Phase noise Φ(t)는 보통 gaussian 잡음으로 모델링된다.
②Jitter
Sampling clock은 주기적인 time interval(τ)마다 반복되는 square wave이다.
다음 그림과 같이 time interval(τ)에 시간 변화가 생기면, 이 시간 변화, Δ(t)를 Jitter라고 한다.
Jitter, Δ(t)는 통상적으로 Gaussian 잡음분포로 모델링 된다.
다음 그림은 Oscillator의 일반적인 noise 스펙트럼모양이다. Oscillator 잡음은 보통 flicker noise, shot noise, thermal noise로 구성되어 있다. 다음 그림에서 5KHz 이상 스펙트럼 모양이 주로 평탄하다. 이 부분은 shot noise, thermal noise에 의한 것이다. 5KHz 이하 스펙트럼 모양은 주파수에 반비례한다. 이 부분은 1/f noise (flicker noise)에 의한 것이다.
③Oscillator의 잡음 구성
3.Power Spectral Density와 Phase noise/Jitter
신호의 power spectrum 또는 power spectral density는 FFT를 이용하여 다음과 같이 계산한다.
앞에서 언급한 phase noise Φ(t)와 Phase noise가 섞인(또는 위상 변조된) Carrier 신호, y(t)는 다음식으로 모델링한다.
phase deviation(phase가 흔들리는 것) 사인파형으로 흔들리는 것으로 모델링하였다. 단위는 radian이다.
Jacobi-Anger expansion(지수함수 형태의 위상 변조 신호를 베셀함수(Bessel function)**의 무한급수로 전개하는 수학적 정리)와 오일러 항등식을 이용하여, 위상 변조된 carrier 신호 y(t)는 다음과 같이 표현된다.
위상 변조된 carrier 신호를
carrier 신호(ωc)와
carrier 신호에서 (ωm)의 배수만큼 offset을 가진 신호로
분리하여 표현할 수 있다.
Carrier 주파수가 32768 Hz, Phase deviation 크기가 500mrad(0.5rad)이고 변조 주파수가 1024Hz인 신호가 있다. 즉 32768Hz 주파수를 가진 신호에 주파수가 1024Hz인 0.5rad 위상 잡음이 섞인 신호이다. 이 신호를 스펙트럼 상에서 보면 다음과 같다.
32768Hz carrier 주파수 이외에도 1024Hz 간격을 두고
carrier 주파수 이외의 주파수(32768 +1024, 32768 -1024, 32768+2048, 32768-2048…)
신호들이 분포한다.
Phase noise 크기가 증가하면 carrier 주파수의 신호(32768Hz)의 세기는 감소하고
위상 변조에 의해 생긴 주파수(32768 +1024, 32768 -1024, 32768+2048, 32768-2048…)의 신호 세기는 커진다.
Phase noise 크기가 0.5rad이면, carrier 주파수의 신호의 전력은 12% 감소한다.
계산)
앞에서 phase noise가 섞인 신호를 다음과 같이 표현하였다.
이 때 carrier 주파수의 신호 앞에 붙은 베셀 함수의 0차 계수의 계산식은 다음과 같다.
0.5 라디안의 경우 J0의 값은 0.9375이다. 즉 carrier 주파수의 신호의 크기는 본래 크기의 0.9375만큼이 되며, 이 신호를 전력으로 표현하면 0.9375*0.9375 = 0.8789 가 된다. 즉 phase noise에 의해 본래 carrier 신호가 가지고 있던 전력의 약 12 퍼센트가 깎이는 것이다.
※0.5 rad => 28.65°의 위상차이
이와 같이, phase noise의 크기가 크면, 본래 carrier 신호의 세기를 감소시키므로, phase noise를 작게 하는 것이 중요하다.
Phase noise가 1rad보다 매우 작은 경우는 어떻게 볼 수 있을까? Phase noise가 1rad보다 매우 작다는 것의 의미는 다음과 같다.
1 라디안 ≈ 57.3°
따라서 rad이면 수십 도보다 훨씬 작은 각도, 보통 수도(rad) 단위에서 0.1 rad 이하 정도를 말함.
이렇게 작은 각도에서는 sin, tan 근사를 사용할 수 있습니다:
①phase noise가 매우 작은 경우라면 Phase noise의 rms 크기 계산이 용이하다.
phase noise가 1rad보다 매우 작은 경우라면, 베셀 함수의 0차, 1차계수는 값을 가지고 그리고 0차와 1차를 제외한 계수는 0이 된다. 다음과 같다.
즉 주파수 domain에서 보았을 때, carrier 주파수의 신호는 100% 전부 보장되며, carrier 주파수 중심으로 phase noise 1차 변조 주파수 간격(wc+wm, wc-wm)에만 신호가 있다. 그리고 그 이외 주파수 대역에는 Spur 신호가 없다. ( 2차,3차,4차… 계수는 0이기 때문이다)
이런 특성을 활용하여 phase noise가 1rad보다 매우 작은 경우라면 phase noise가 섞인 신호에서 phase noise의 rms power, 크기를 쉽게 계산할 수 있다.
Bessel 함수 특성을 이용하여 phase noise rms 크기를 다음과 같이 계산할 수 있다. phase noise의 power는 신호의 전체 power 중 carrier 신호의 power를 뺀 나머지이다.
예를 들어 Phase noise 크기가 0.1 rad인 경우 phase noise의 rms power는 0.0049, rms 크기는 0.0706이다.
위 상황은 phase noise의 modulation 기본 주파수가 1개인 경우이지만, 이것보다 더 복잡한 경우가 있다. 이런 경우 phase noise의 rms power를 스펙트럼 domain에서 계산할 수 있다.
Phase noise크기가 매우 작은 경우라면(1rad보다 매우 작은)
Phase noise의 rms power를 다음과 같이 계산한다.
phase noise power = 신호 전체 power - carrier 신호 power
phase noise의 rms 크기는 다음과 같이 rad, 각도, 시간(jitter)로 표현된다.
Phase noise의 rms 크기가 0.07 radian이라면, 이것은 위상의 흔들림이 최대 4도라는 것이다.
또한 carrier 주파수가 10KHz(주기 100us)인 경우 jitter가 1.1us생긴다는 의미이다.
Ex)100us*0.07/(2pi)= 1.11us
②Phase noise 예제
Carrier 주파수가 262,144Hz = 262.144KHz 이고, Phase noise의 표준편차가 10mrad = 0.01 rad 인 신호가 있다.
초당 4,000,000개의 IQ를 수집하고, 그 중 15ms에 해당하는 65000개의 IQ로 스펙트럼을 표시하면 다음과 같다.(0dB에 normalize한 것임)
Power spectral density를 260KHz에 Carrier 신호가 있다.
Power spectral density에서 phase noise의 rms power, 크기 계산 과정은 다음과 같다. Power spectral density에서 carrier 주파수를 제외한 나머지 noise를 전부 합친다.
Power spectral density에서 계산한 phase noise의 rms크기인 0.010008 rad이다. 이것은 입력신호의 phase noise의 표준편차 0.01rad의 값과 일치한다.
③Jitter 예제
rms Phase noise 10mrad과 똑같은 rms jitter를 carrier 주파수에 넣으면 어떻게 될까?
Carrier 주파수가 260kHz인 경우에서 jitter의 표준편차가 6.07ns인 것은 phase noise의 rms 크기가 10mrad과 일치한다.
Phase 예제에서는 10mrad의 phase noise를 carrier 신호에 넣었다면, 이번 예제에서는 6.07ns를 260kHz carrier신호에 jitter로 넣었다. 수학식으로 다음과 같이 표현한다.
Jitter가 더해진 신호를 power spectral density에서 표현하면 위와 같으며, carrier 신호를 제외하고 noise 부분의 파워를 전부 더하면, phase noise의 rms 크기는 0.01 rad이다.
